Аннотация
Большое внимание уделено упражнениям, которые обеспечивают как усвоение основных теоретических знаний, так и формирование необходимых умений и навыков. В каждом пункте учебника выделяются задания обязательного уровня, которые варьируются с учётом возможных случаев. В системе упражнений специально выделены задания для работы в парах, задачи-исследования, старинные задачи. Приводимые образцы решения задач, пошаговое нарастание сложности заданий, сквозная линия повторения — всё это позволяет учащимся успешно овладеть новыми умениями. Каждая глава учебника заканчивается пунктом под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше», содержащим некоторый фрагмент теории и усложненные упражнения.
Пример из учебника
Дорогие девятиклассники! В этом учебном году вы сдаёте выпускной экзамен по алгебре за курс основной средней школы. На уроках математики вам предстоит не только познакомиться с целым рядом новых тем, но и повторить весь пройденный ранее материал. В конце учебного года вам нужно будет сделать выбор: продолжить образование в профессиональных училищах, колледжах или общеобразовательных учебных заведениях. Причём если вы решите продолжить образование в школе, лицее или гимназии, то вам нужно будет выбрать профиль класса, в котором вы будете учиться.
Данное пособие отчасти поможет вашему выбору: изучать ли математику по программе углублённого или по программе общеобразовательного курса. Чтобы показать особенности профильного и углублённого изучения математики в старших классах, в пособии по алгебре для 9 класса значительно больше внимания уделяется теоретическим положениям. И хотя в объяснительных текстах всё ещё довольно редко встречаются непривычные для школьного курса алгебры слова «теорема», «доказательство», тем не менее многие утверждения в пособии либо доказаны полностью, либо эти доказательства предлагается выполнить самостоятельно. Авторы надеются, что такой подход поможет вам выбрать специализацию.
В учебном пособии представлен большой набор разнообразных по тематике и уровню сложности упражнений. Проблемные, исследовательские задачи выделены специальным образом-их номер дан другим цветом. Авторы надеются, что изучение алгебры по этому пособию будет для вас интересным и полезным, позволит увидеть алгебру не только как учебный школьный предмет, но и как средство развития своих способностей, поможет рассматривать математику как часть общечеловеческой культуры.
Содержание
Предисловие для учащихся 3
Глава 1 ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ 4
§ 1. Свойства функций 4
1. Возрастание и убывание функций 4
2. Свойства монотонных функций 10
3. Чётные и нечётные функции 15
4. Свойства чётных и нечётных функций 19
5. Ограниченные и неограниченные функции 23
§ 2. Квадратичная функция 29
6. Функции у = ах2, у = ах2 + п и у = а(х — т)2 29
7. График и свойства квадратичной функции 33
§ 3. Преобразования графиков функций 38
8. Растяжение и сжатие графиков функций к оси ординат 38
9. Графики функций у = \Дх) | И у — f{ \ x |) 45
Дополнительные упражнения к главе 1 48
Глава 2 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 52
§4. Уравнения с одной переменной 52
10. Целое уравнение и его корни 52
11. Приёмы решения целых уравнений 58
12. Теорема Виета для уравнений высших степеней 66
13. Решение дробно-рациональных уравнений 70
§5. Неравенства с одной переменной 77
14. Решение целых неравенств с одной переменной 77
15. Решение дробно-рациональных неравенств с одной переменной 85
§6. Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля 90
16. Решение уравнений с переменной под знаком модуля 90
17. Решение неравенств с переменной под знаком модуля 94
§7. Уравнения с параметрами 100
18. Целые уравнения с параметрами 100
19. Дробно-рациональные уравнения с параметрами 104
Дополнительные упражнения к главе 2 108
Глава 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 112
§8. Уравнения с двумя переменными и их системы 112
20. Уравнение с двумя переменными и его график 112
21. Система уравнений с двумя переменными 117
22. Решение систем уравнений с двумя переменными способом подстановки и способом сложения 119
23. Другие способы решения систем уравнений с двумя переменными 122
24. Решение задач 126
§9. Неравенства с двумя переменными и их системы 132
25. Линейное неравенство с двумя переменными 132
26. Неравенства с двумя переменными степени выше первой 136
27. Система неравенств с двумя переменными 139
28. Неравенства с двумя переменными, содержащие знак модуля 144
Дополнительные упражнения к главе 3 147
Глава 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 152
§ 10. Свойства последовательностей 152
29. Числовые последовательности. Способы задания последовательностей 152
30. Возрастающие и убывающие последовательности 157
31. Ограниченные и неограниченные последовательности 161
32. Метод математической индукции 164
§ 11. Арифметическая прогрессия 170
33. Арифметическая прогрессия. Формула /2-го члена арифметической прогрессии 170
34. Сумма первых п членов арифметической прогрессии 175
§ 12. Геометрическая прогрессия 179
35. Геометрическая прогрессия. Формула л-го члена геометрической прогрессии 179
36. Сумма первых п членов геометрической прогрессии 185
§ 13. Сходящиеся последовательности 189
37. Предел последовательности 189
38. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 196
Дополнительные упражнения к главе 4 200
Глава 5 СТЕПЕНИ И КОРНИ 204
§ 14. Взаимно обратные функции 204
39. Функция, обратная данной 204
40. Функция, обратная степенной функции с натуральным показателем 209
§15. Корни n-й степени и степени с рациональными показателями 214
41. Арифметический корень n-й степени 214
42. Степень с рациональным показателем 220
§ 16. Иррациональные уравнения и неравенства 229
43. Решение иррациональных уравнений 229
44. Решение иррациональных неравенств 235
Дополнительные упражнения к главе 5 243
Глава 6 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 250
§ 17. Основы математической логики 250
45. Высказывания и предикаты. Кванторы 250
46. Операции над высказываниями и предикатами. Отрицание 254
47. Конъюнкция, дизъюнкция, импликация 257
48. Свойства операций над высказываниями 262
§ 18. Основные понятия и формулы комбинаторики 266
49. Перестановки 266
50. Размещения 269
51. Сочетания 273
§ 19. Элементы теории вероятностей 278
52. Частота и вероятность 278
53. Сложение вероятностей 285
54. Умножение вероятностей 289
55. Испытания Бернулли 293
56. Числовые характеристики распределения вероятностей 298
Дополнительные упражнения к главе 6 305
Глава 7 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 310
§ 20. Тригонометрические функции 310
57. Угол поворота 310
58. Радианная мера угла 313
59. Определение основных тригонометрических функций 316
§21. Свойства и графики тригонометрических функций 322
60. Некоторые тригонометрические тождества 322
61. Свойства тригонометрических функций 325
62. Графики и основные свойства синуса и косинуса 330
63. Графики и основные свойства тангенса и котангенса 333
§22. Основные тригонометрические формулы 336
64. Формулы приведения 336
65. Связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 341
66. Преобразование тригонометрических выражений 344
§23. Формулы сложения и их следствия 348
67. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов 348
68. Формулы двойного и половинного углов 354
69. Формулы суммы и разности тригонометрических функций 358
Дополнительные упражнения к главе 7 363
Задачи повышенной трудности 371
Ответы 375
Предметный указатель 394
Глава 1 ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ 4
§ 1. Свойства функций 4
1. Возрастание и убывание функций 4
2. Свойства монотонных функций 10
3. Чётные и нечётные функции 15
4. Свойства чётных и нечётных функций 19
5. Ограниченные и неограниченные функции 23
§ 2. Квадратичная функция 29
6. Функции у = ах2, у = ах2 + п и у = а(х — т)2 29
7. График и свойства квадратичной функции 33
§ 3. Преобразования графиков функций 38
8. Растяжение и сжатие графиков функций к оси ординат 38
9. Графики функций у = \Дх) | И у — f{ \ x |) 45
Дополнительные упражнения к главе 1 48
Глава 2 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 52
§4. Уравнения с одной переменной 52
10. Целое уравнение и его корни 52
11. Приёмы решения целых уравнений 58
12. Теорема Виета для уравнений высших степеней 66
13. Решение дробно-рациональных уравнений 70
§5. Неравенства с одной переменной 77
14. Решение целых неравенств с одной переменной 77
15. Решение дробно-рациональных неравенств с одной переменной 85
§6. Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля 90
16. Решение уравнений с переменной под знаком модуля 90
17. Решение неравенств с переменной под знаком модуля 94
§7. Уравнения с параметрами 100
18. Целые уравнения с параметрами 100
19. Дробно-рациональные уравнения с параметрами 104
Дополнительные упражнения к главе 2 108
Глава 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 112
§8. Уравнения с двумя переменными и их системы 112
20. Уравнение с двумя переменными и его график 112
21. Система уравнений с двумя переменными 117
22. Решение систем уравнений с двумя переменными способом подстановки и способом сложения 119
23. Другие способы решения систем уравнений с двумя переменными 122
24. Решение задач 126
§9. Неравенства с двумя переменными и их системы 132
25. Линейное неравенство с двумя переменными 132
26. Неравенства с двумя переменными степени выше первой 136
27. Система неравенств с двумя переменными 139
28. Неравенства с двумя переменными, содержащие знак модуля 144
Дополнительные упражнения к главе 3 147
Глава 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 152
§ 10. Свойства последовательностей 152
29. Числовые последовательности. Способы задания последовательностей 152
30. Возрастающие и убывающие последовательности 157
31. Ограниченные и неограниченные последовательности 161
32. Метод математической индукции 164
§ 11. Арифметическая прогрессия 170
33. Арифметическая прогрессия. Формула /2-го члена арифметической прогрессии 170
34. Сумма первых п членов арифметической прогрессии 175
§ 12. Геометрическая прогрессия 179
35. Геометрическая прогрессия. Формула л-го члена геометрической прогрессии 179
36. Сумма первых п членов геометрической прогрессии 185
§ 13. Сходящиеся последовательности 189
37. Предел последовательности 189
38. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 196
Дополнительные упражнения к главе 4 200
Глава 5 СТЕПЕНИ И КОРНИ 204
§ 14. Взаимно обратные функции 204
39. Функция, обратная данной 204
40. Функция, обратная степенной функции с натуральным показателем 209
§15. Корни n-й степени и степени с рациональными показателями 214
41. Арифметический корень n-й степени 214
42. Степень с рациональным показателем 220
§ 16. Иррациональные уравнения и неравенства 229
43. Решение иррациональных уравнений 229
44. Решение иррациональных неравенств 235
Дополнительные упражнения к главе 5 243
Глава 6 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 250
§ 17. Основы математической логики 250
45. Высказывания и предикаты. Кванторы 250
46. Операции над высказываниями и предикатами. Отрицание 254
47. Конъюнкция, дизъюнкция, импликация 257
48. Свойства операций над высказываниями 262
§ 18. Основные понятия и формулы комбинаторики 266
49. Перестановки 266
50. Размещения 269
51. Сочетания 273
§ 19. Элементы теории вероятностей 278
52. Частота и вероятность 278
53. Сложение вероятностей 285
54. Умножение вероятностей 289
55. Испытания Бернулли 293
56. Числовые характеристики распределения вероятностей 298
Дополнительные упражнения к главе 6 305
Глава 7 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 310
§ 20. Тригонометрические функции 310
57. Угол поворота 310
58. Радианная мера угла 313
59. Определение основных тригонометрических функций 316
§21. Свойства и графики тригонометрических функций 322
60. Некоторые тригонометрические тождества 322
61. Свойства тригонометрических функций 325
62. Графики и основные свойства синуса и косинуса 330
63. Графики и основные свойства тангенса и котангенса 333
§22. Основные тригонометрические формулы 336
64. Формулы приведения 336
65. Связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 341
66. Преобразование тригонометрических выражений 344
§23. Формулы сложения и их следствия 348
67. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов 348
68. Формулы двойного и половинного углов 354
69. Формулы суммы и разности тригонометрических функций 358
Дополнительные упражнения к главе 7 363
Задачи повышенной трудности 371
Ответы 375
Предметный указатель 394
Спецыальный плагин был разработан для комфортного изучения и чтения учебника, все пособия на сайте находятся в электроном виде, вы можете прочитать их онлайн в любое время. В дальнейшем возможно будет скачать бесплатно PDF файл.
