Аннотация
Задания по математике, аналогичные заданиям из банка заданий ЕГЭ. Данная книга посвящена подготовке к профильному ЕГЭ и дополнительному вступительному экзамену по математике. Каждая из семи глав книги, содержащих задачи по всем темам курса математики, вошедшим в ЕГЭ, систематизирует теоретический материал и практические примеры для решения задач с 13 по 19. Каждая глава книги разбита на параграфы. В начале каждого параграфа дается необходимый теоретический материал, затем разбирается достаточное количество примеров. Для закрепления пройденного материала имеется список задач для самостоятельного решения, снабженных ответами.
Пример из учебника
Предисловие
Данная книга посвящена подготовке к профильному ЕГЭ и дополнительному вступительному испытанию по математике. Каждая из семи глав книги систематизирует теоретический материал и практические примеры для решения соответствующей задачи с 13 по 19.
Задача 13 – это тригонометрическое уравнение, как правило, с последующим отбором корней. В первой главе приводятся формулы тригонометрии и рассматриваются различные методы решения таких уравнений.
Задача 14 – это задача по стереометрии. Во второй главе изучаются способы построения сечений, нахождения углов и расстояний в пространстве, в том числе использующие аналитическую геометрию.
Задача 15 – это неравенство или система неравенств. В третьей главе наряду с традиционными приемами решения таких задач используется также и нестандартные, например, логарифмический метод интервалов.
Задача 16 – задача по планиметрии. Четвертая глава разбита на темы, каждая из которых посвящена определенному классу планиметрических задач.
Задача 17 – экономическая задача. В пятой главе разбирается большое количество таких задач, задачи систематизированы по методам их решений.
Задача 18 – это задача с параметром. В шестой главе рассматриваются как логические методы решения подобных задач, так и применение графических иллюстраций.
И, наконец, задача 19 – задача на целые числа. В седьмой главе изучаются специфические приемы, необходимые при работе с целочисленными переменными, как, например, использование признаков делимости и перебор вариантов.
Каждая глава книги разбита на параграфы.
В начале каждого параграфа дается необходимый теоретический материал, затем разбирается достаточное количество примеров.
Для закрепления пройденного материала имеется список задач для самостоятельного решения, снабженных ответами.
Книга может быть использована школьниками старших классов для фундаментальной подготовки к ЕГЭ по математике, а также учителями и репетиторами.
Желаем успехов!
Данная книга посвящена подготовке к профильному ЕГЭ и дополнительному вступительному испытанию по математике. Каждая из семи глав книги систематизирует теоретический материал и практические примеры для решения соответствующей задачи с 13 по 19.
Задача 13 – это тригонометрическое уравнение, как правило, с последующим отбором корней. В первой главе приводятся формулы тригонометрии и рассматриваются различные методы решения таких уравнений.
Задача 14 – это задача по стереометрии. Во второй главе изучаются способы построения сечений, нахождения углов и расстояний в пространстве, в том числе использующие аналитическую геометрию.
Задача 15 – это неравенство или система неравенств. В третьей главе наряду с традиционными приемами решения таких задач используется также и нестандартные, например, логарифмический метод интервалов.
Задача 16 – задача по планиметрии. Четвертая глава разбита на темы, каждая из которых посвящена определенному классу планиметрических задач.
Задача 17 – экономическая задача. В пятой главе разбирается большое количество таких задач, задачи систематизированы по методам их решений.
Задача 18 – это задача с параметром. В шестой главе рассматриваются как логические методы решения подобных задач, так и применение графических иллюстраций.
И, наконец, задача 19 – задача на целые числа. В седьмой главе изучаются специфические приемы, необходимые при работе с целочисленными переменными, как, например, использование признаков делимости и перебор вариантов.
Каждая глава книги разбита на параграфы.
В начале каждого параграфа дается необходимый теоретический материал, затем разбирается достаточное количество примеров.
Для закрепления пройденного материала имеется список задач для самостоятельного решения, снабженных ответами.
Книга может быть использована школьниками старших классов для фундаментальной подготовки к ЕГЭ по математике, а также учителями и репетиторами.
Желаем успехов!
Содержание
Предисловие 8
ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Преобразование тригонометрических выражений 9
1.1. Основные формулы тригонометрии 9
1.2. Доказательство тождеств и упрощение выражений 11
Задачи для самостоятельного решения 17
1.3. Задачи на вычисления в тригонометрии 19
Задачи для самостоятельного решения 23
§ 2. Основные методы решения тригонометрических уравнений 24
2.1. Простейшие тригонометрические уравнения 24
2.2. Сведение тригонометрического уравнения к квадратному 25
Задачи для самостоятельного решения 28
2.3. Разложение на множители 29
Задачи для самостоятельного решения 32
2.4. Понижение степени 33
Задачи для самостоятельного решения 35
2.5. Введение дополнительного угла 36
Задачи для самостоятельного решения 40
§ 3. Отбор корней в тригонометрических уравнениях 41
3.1. Отбор корней при помощи тригонометрического неравенства 41
Задачи для самостоятельного решения 52
3.2. Отбор корней в промежуток на числовой прямой 53
Задачи для самостоятельного решения 63
3.3. Нахождение общих корней двух тригонометрических уравнений 64
Задачи для самостоятельного решения 73
§ 4. Решение систем тригонометрических уравнений 74
Задачи для самостоятельного решения 81
§ 5. Решение тригонометрических неравенств 82
Задачи для самостоятельного решения 90
ГЛАВА II. СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 1. Нахождение углов 91
1.1. Угол между прямыми 91
Задачи для самостоятельного решения 99
1.2. Угол между прямой и плоскостью 100
Задачи для самостоятельного решения 106
1.3. Угол между плоскостями 107
Задачи для самостоятельного решения 114
§ 2. Вычисление расстояний 115
Задачи для самостоятельного решения 121
§ 3. Метод координат 122
Задачи для самостоятельного решения 130
§ 4. Сечения 131
Задачи для самостоятельного решения 138
§ 5. Другие задачи 139
Задачи для самостоятельного решения 151
ГЛАВА III. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 1. Метод интервалов для решения неравенств 153
Задачи для самостоятельного решения 157
§ 2. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах 159
Задачи для самостоятельного решения 169
§ 3. Иррациональные уравнения и неравенства 170
Задачи для самостоятельного решения 178
§ 4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 180
4.1. Основные формулы и решение простейших уравнений и неравенств 180
4.2. Преобразование суммы и разности логарифмов 181
Задачи для самостоятельного решения 186
4.3. Метод замены переменной 187
Задачи для самостоятельного решения 193
4.4. Расщепление неравенств 194
Задачи для самостоятельного решения 200
4.5. Переход к новому основанию 201
Задачи для самостоятельного решения 205
§ 5. Уравнения и неравенства смешанного типа 205
Задачи для самостоятельного решения 213
§ 6. Логарифмический метод интервалов 214
Задачи для самостоятельного решения 219
§ 7. Системы алгебраических уравнений и неравенств 220
Задачи для самостоятельного решения 229
ГЛАВА IV. ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Теорема Пифагора и прямоугольные треугольники 232
Задачи для самостоятельного решения 237
§ 2. Теоремы синусов и косинусов, площадь треугольника…239
Задачи для самостоятельного решения 249
§ 3. Биссектриса и медиана треугольника 252
Задачи для самостоятельного решения 259
§ 4. Пропорциональные отрезки и подобие треугольников …260
Задачи для самостоятельного решения 269
§ 5. Леммы о площадях 271
Задачи для самостоятельного решения 282
§ 6. Углы в окружностях 285
Задачи для самостоятельного решения 298
§ 7. Касание окружностей, касание прямой и окружности …301
Задачи для самостоятельного решения 310
§ 8. Длины и площади, связанные с окружностью 312
Задачи для самостоятельного решения 321
§ 9. Четырехугольники 322
Задачи для самостоятельного решения 333
§ 10. Доказательство некоторых теорем и формул 336
ГЛАВА V. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Предварительные задачи 345
Задачи для самостоятельного решения 352
§ 2. Формула сложных процентов 354
Задачи для самостоятельного решения 364
§ 3. Исследование функций и графические иллюстрации 366
Задачи для самостоятельного решения 376
§ 4. Задачи на оптимизацию 378
Задачи для самостоятельного решения 390
§ 5. Специфика целых чисел 392
Задачи для самостоятельного решения 396
§ 6. Другие задачи 397
Задачи для самостоятельного решения 406
ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
§ 1. Линейные уравнения и системы линейных уравнений 410
Задачи для самостоятельного решения 416
§ 2. Исследование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта 417
Задачи для самостоятельного решения 425
§ 3. Теорема Виета 426
Задачи для самостоятельного решения 432
§ 4. Расположение корней квадратного трехчлена 433
Задачи для самостоятельного решения 447
§ 5. Применение графических иллюстраций к исследованию квадратного трехчлена 449
Задачи для самостоятельного решения 458
§ 6. Ограниченность функции. Нахождение области значений 459
Задачи для самостоятельного решения 469
§ 7. Другие свойства функций 471
Задачи для самостоятельного решения 483
§ 8. Логические задачи с параметром 485
Задачи для самостоятельного решения 496
§ 9. Иллюстрации на координатной плоскости 498
Задачи для самостоятельного решения 511
§ 10. Метод «Оха» 513
Задачи для самостоятельного решения 522
ГЛАВА VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
§ 1. Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными 523
Задачи для самостоятельного решения 528
§ 2. Диофантовы уравнения второго порядка с двумя неизвестными 529
Задачи для самостоятельного решения 537
§ 3. Другие уравнения в целых числах 539
Задачи для самостоятельного решения 543
§ 4. Текстовые задачи, использующие уравнения в целых числах 545
Задачи для самостоятельного решения 550
§ 5. Оценки переменных. Организация перебора 552
Задачи для самостоятельного решения 561
§ 6. Неравенства в целых числах. Графические иллюстрации 566
Задачи для самостоятельного решения 575
§ 7. Задачи на делимость 577
Задачи для самостоятельного решения 583
§ 8. Текстовые задачи, использующие делимость целых чисел 584
Задачи для самостоятельного решения 590
§ 9. Экстремальные задачи в целых числах 593
Задачи для самостоятельного решения 602
§ 10. Целочисленные прогрессии 604
Задачи для самостоятельного решения 612
§ 11. Целые числа и квадратный трехчлен 613
Задачи для самостоятельного решения 619
§ 12. Задачи, аналогичные задачам 19 из ЕГЭ 620
Задачи для самостоятельного решения 627
§ 13. Задачи математических олимпиад 628
Задачи для самостоятельного решения 634
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 637
Глава I. Тригонометрические уравнения 637
Глава П. Стереометрия 641
Глава III. Решение уравнений и неравенств 642
Глава IV. Планиметрия 646
Глава V. Экономические задачи 648
Глава VI. Задачи с параметром 649
Глава VII. Решение задач и уравнений в целых числах 652
ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Преобразование тригонометрических выражений 9
1.1. Основные формулы тригонометрии 9
1.2. Доказательство тождеств и упрощение выражений 11
Задачи для самостоятельного решения 17
1.3. Задачи на вычисления в тригонометрии 19
Задачи для самостоятельного решения 23
§ 2. Основные методы решения тригонометрических уравнений 24
2.1. Простейшие тригонометрические уравнения 24
2.2. Сведение тригонометрического уравнения к квадратному 25
Задачи для самостоятельного решения 28
2.3. Разложение на множители 29
Задачи для самостоятельного решения 32
2.4. Понижение степени 33
Задачи для самостоятельного решения 35
2.5. Введение дополнительного угла 36
Задачи для самостоятельного решения 40
§ 3. Отбор корней в тригонометрических уравнениях 41
3.1. Отбор корней при помощи тригонометрического неравенства 41
Задачи для самостоятельного решения 52
3.2. Отбор корней в промежуток на числовой прямой 53
Задачи для самостоятельного решения 63
3.3. Нахождение общих корней двух тригонометрических уравнений 64
Задачи для самостоятельного решения 73
§ 4. Решение систем тригонометрических уравнений 74
Задачи для самостоятельного решения 81
§ 5. Решение тригонометрических неравенств 82
Задачи для самостоятельного решения 90
ГЛАВА II. СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 1. Нахождение углов 91
1.1. Угол между прямыми 91
Задачи для самостоятельного решения 99
1.2. Угол между прямой и плоскостью 100
Задачи для самостоятельного решения 106
1.3. Угол между плоскостями 107
Задачи для самостоятельного решения 114
§ 2. Вычисление расстояний 115
Задачи для самостоятельного решения 121
§ 3. Метод координат 122
Задачи для самостоятельного решения 130
§ 4. Сечения 131
Задачи для самостоятельного решения 138
§ 5. Другие задачи 139
Задачи для самостоятельного решения 151
ГЛАВА III. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 1. Метод интервалов для решения неравенств 153
Задачи для самостоятельного решения 157
§ 2. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах 159
Задачи для самостоятельного решения 169
§ 3. Иррациональные уравнения и неравенства 170
Задачи для самостоятельного решения 178
§ 4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 180
4.1. Основные формулы и решение простейших уравнений и неравенств 180
4.2. Преобразование суммы и разности логарифмов 181
Задачи для самостоятельного решения 186
4.3. Метод замены переменной 187
Задачи для самостоятельного решения 193
4.4. Расщепление неравенств 194
Задачи для самостоятельного решения 200
4.5. Переход к новому основанию 201
Задачи для самостоятельного решения 205
§ 5. Уравнения и неравенства смешанного типа 205
Задачи для самостоятельного решения 213
§ 6. Логарифмический метод интервалов 214
Задачи для самостоятельного решения 219
§ 7. Системы алгебраических уравнений и неравенств 220
Задачи для самостоятельного решения 229
ГЛАВА IV. ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Теорема Пифагора и прямоугольные треугольники 232
Задачи для самостоятельного решения 237
§ 2. Теоремы синусов и косинусов, площадь треугольника…239
Задачи для самостоятельного решения 249
§ 3. Биссектриса и медиана треугольника 252
Задачи для самостоятельного решения 259
§ 4. Пропорциональные отрезки и подобие треугольников …260
Задачи для самостоятельного решения 269
§ 5. Леммы о площадях 271
Задачи для самостоятельного решения 282
§ 6. Углы в окружностях 285
Задачи для самостоятельного решения 298
§ 7. Касание окружностей, касание прямой и окружности …301
Задачи для самостоятельного решения 310
§ 8. Длины и площади, связанные с окружностью 312
Задачи для самостоятельного решения 321
§ 9. Четырехугольники 322
Задачи для самостоятельного решения 333
§ 10. Доказательство некоторых теорем и формул 336
ГЛАВА V. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Предварительные задачи 345
Задачи для самостоятельного решения 352
§ 2. Формула сложных процентов 354
Задачи для самостоятельного решения 364
§ 3. Исследование функций и графические иллюстрации 366
Задачи для самостоятельного решения 376
§ 4. Задачи на оптимизацию 378
Задачи для самостоятельного решения 390
§ 5. Специфика целых чисел 392
Задачи для самостоятельного решения 396
§ 6. Другие задачи 397
Задачи для самостоятельного решения 406
ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
§ 1. Линейные уравнения и системы линейных уравнений 410
Задачи для самостоятельного решения 416
§ 2. Исследование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта 417
Задачи для самостоятельного решения 425
§ 3. Теорема Виета 426
Задачи для самостоятельного решения 432
§ 4. Расположение корней квадратного трехчлена 433
Задачи для самостоятельного решения 447
§ 5. Применение графических иллюстраций к исследованию квадратного трехчлена 449
Задачи для самостоятельного решения 458
§ 6. Ограниченность функции. Нахождение области значений 459
Задачи для самостоятельного решения 469
§ 7. Другие свойства функций 471
Задачи для самостоятельного решения 483
§ 8. Логические задачи с параметром 485
Задачи для самостоятельного решения 496
§ 9. Иллюстрации на координатной плоскости 498
Задачи для самостоятельного решения 511
§ 10. Метод «Оха» 513
Задачи для самостоятельного решения 522
ГЛАВА VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
§ 1. Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными 523
Задачи для самостоятельного решения 528
§ 2. Диофантовы уравнения второго порядка с двумя неизвестными 529
Задачи для самостоятельного решения 537
§ 3. Другие уравнения в целых числах 539
Задачи для самостоятельного решения 543
§ 4. Текстовые задачи, использующие уравнения в целых числах 545
Задачи для самостоятельного решения 550
§ 5. Оценки переменных. Организация перебора 552
Задачи для самостоятельного решения 561
§ 6. Неравенства в целых числах. Графические иллюстрации 566
Задачи для самостоятельного решения 575
§ 7. Задачи на делимость 577
Задачи для самостоятельного решения 583
§ 8. Текстовые задачи, использующие делимость целых чисел 584
Задачи для самостоятельного решения 590
§ 9. Экстремальные задачи в целых числах 593
Задачи для самостоятельного решения 602
§ 10. Целочисленные прогрессии 604
Задачи для самостоятельного решения 612
§ 11. Целые числа и квадратный трехчлен 613
Задачи для самостоятельного решения 619
§ 12. Задачи, аналогичные задачам 19 из ЕГЭ 620
Задачи для самостоятельного решения 627
§ 13. Задачи математических олимпиад 628
Задачи для самостоятельного решения 634
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 637
Глава I. Тригонометрические уравнения 637
Глава П. Стереометрия 641
Глава III. Решение уравнений и неравенств 642
Глава IV. Планиметрия 646
Глава V. Экономические задачи 648
Глава VI. Задачи с параметром 649
Глава VII. Решение задач и уравнений в целых числах 652
Спецыальный плагин был разработан для комфортного изучения и чтения учебника, все пособия на сайте находятся в электроном виде, вы можете прочитать их онлайн в любое время. В дальнейшем возможно будет скачать бесплатно PDF файл.
