Алгебра 10-11 класс Алимов, Колягин (базовый и углубленный уровни)

В данном учебнике завершается развитие основных идей курса алгебры 7-9 классов авторов Ш.А. Алимова и других. Элементарные функции изучаются в 10 классе классическими элементарными методами без привлечения производной; числовая линия и линия преобразований развиваются параллельно с функциональной; начала математического анализа рассматриваются в 11 классе. Система упражнений представлена на трёх уровнях сложности. Задачи повышенной трудности в конце учебника содержат богатый материал для подготовки в вузы с повышенными требованиями по математике.

Изучение математики начинается со знакомства с натуральными числами, т. е. с числами 1, 2, 3, 4, 5, …. При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако разность и частное натуральных чисел могут не быть натуральными числами. Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами ( т. е. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел, т. е. Однако частное двух целых чисел может не быть целым числом. Введение рациональных чисел, т. е. чисел вида т, где т – целое число, п – натуральное число, позволило находить частное любых двух целых чисел при условии, что делитель не равен нулю.

Глава 1. Действительные числа
§ 1. Целые и рациональные числа 3
§ 2. Действительные числа 7
§ 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. . 11
§ 4. Арифметический корень натуральной степени 17
§ 5. Степень с рациональным и действительным показателями 24
Упражнения к главе I 35
Глава II. Степенная функции
§ 6. Степенная функция, её свойства и график 39
§ 7. Взаимно обратные функции 47
§ 8. Равносильные уравнения и неравенства 54
§ 9. Иррациональные уравнения 60
§ 10*. Иррациональные неравенства 63
Упражнения к главе II 69
Глава III. Показательная функция
§11. Показательная функция, её свойства и график 72
§ 12. Показательные уравнения 77
§ 13. Показательные неравенства 81
§ 14. Системы показательных уравнений и неравенств … 84
Упражнения к главе III 87
Глава IV. .Логарифмическая функция
§ 15. Логарифмы 90
§ 16. Свойства логарифмов 94
§ 17. Десятичные и натуральные логарифмы 96
§ 18. Логарифмическая функция, её свойства и график . . 100
§ 19. Логарифмические уравнения 105
§ 20. Логарифмические неравенства 109
Упражнения к главе IV 113
Глава V . Тригонометрические формулы
§ 21. Радианная мера угла 117
§ 22. Поворот точки вокруг начала координат 121
§ 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла …. 126
§ 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса 132
§ 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла 135
§ 26. Тригонометрические тождества 139
§ 27. Синус, косинус и тангенс углов ее и -а 142
§ 28. Формулы сложения 144
§ 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла 149
§ 30*. Синус, косинус и тангенс половинного угла 152
§ 31. Формулы приведения 156
§ 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов 161
Упражнения к главе V 164
Глава VI. Тригонометрические уравнения
§ 33. Уравнение cos х = а 168
§ 34. Уравнение sin х = а 173
§ 35. Уравнение tg х = а 179
§ 36. Решение тригонометрических уравнений 184
§ 37*. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств 194
Упражнения к главе VI 197
Глава VII. Тригонометрические функции
§ 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций 201
§ 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций 204
§ 40. Свойства функции у = cos x и её график 208
§ 41. Свойства функции у = sin x и её график 213
§ 42. Свойства функции у = tg x и её график 217
§ 43*. Обратные тригонометрические функции 223
Упражнения к главе VII 227
Глава VIII. Производная и её геометрический смысл
§ 44. Производная 229
§ 45. Производная степенной функции 236
§ 46. Правила дифференцирования 240
§ 47. Производные некоторых элементарных функций. . . 245
§ 48. Геометрический смысл производной 251
Упражнения к главе VIII 257
Глава IX. Применение производной к исследованию функций
§ 49. Возрастание и убывание функции 261
§ 50. Экстремумы функции 265
§ 51. Применение производной к построению графиков функций 271
§ 52. Наибольшее и наименьшее значения функции …. 277
§ 53*. Выпуклость графика функции, точки перегиба …. 283
Упражнения к главе IX 287
Глава X. Интеграл
§ 54. Первообразная 291
§ 55. Правила нахождения первообразных 294
§ 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл …. 297
§ 57. Вычисление интегралов 301
§ 58. Вычисление площадей с помощью интегралов …. 304
§ 59*. Применение производной и интеграла к решению практических задач 309
Упражнения к главе X 315
Глава XI Комбинаторика
§ 60. Правило произведения 317
§ 61. Перестановки 320
§ 62. Размещения 323
§ 63. Сочетания и их свойства 326
§ 64. Бином Ньютона 330
Упражнения к главе XI 333
Глава XII. Элементы теории вероятностей
§ 65. События 336
§ 66. Комбинации событий. Противоположное событие . . 339
§ 67. Вероятность события 343
§ 68. Сложение вероятностей 346
§ 69. Независимые события. Умножение вероятностей. . . 350
§ 70. Статистическая вероятность 354
Упражнения к главе XII 359
Глава XIII. Статистика
§ 71. Случайные величины 364
§ 72. Центральные тенденции 370
§ 73. Меры разброса 375
Упражнения к главе XIII 383
Приложение
§ 1. Множества 387
§ 2. Элементы математической логики 388
§ 3. Предел последовательности 390
§ 4. Дробно-линейная функция и её график 393
§ 5. Уравнения и неравенства с двумя неизвестными . . . 395
Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа . . . . 400
Задачи для внеклассной работы 426
Ответы и указания 432
Предметный указатель 460